像, 逆像 - 数学をやろう！

写像の像、逆像について、定義や性質を紹介します。

定義
例
性質
1. 証明

定義

まずは定義をします。

$f:A \to B$を写像とし、$ U \subset A $, $ V \subset B $とする。
この時、$$ f(U):= \{f(x)|x\in U \}$$を$ Uのf$による像(image)と呼び、
$$ f^{-1} (V) :=\{x \in X|f(x) \in V\} $$を $ Vのf $による逆像(inverse image)と呼ぶ。
特に$X$全体の像を$f$の像と呼び、$$\mathrm{Im}f:=f(X)$$と表す。

ここで注意しておきたいのが、逆像の$f^{-1}$は逆写像の意味ではないということです。一般にあらゆる写像に逆写像が存在するわけではないのに対し、逆像はいつでも考えることができます。このあたりは最初は混同しがちなので注意が必要です。

例

少し例を見てみましょう。

$ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\: ; x \mapsto x^2 $とすると、次のようになる。
$$ f((0,2))=(0,4), $$ $$ \mathrm{Im}f=f(\mathbb{R})=[0,\infty), $$ $$ f^{-1}((0,4))=(-2,0)\cup(0,2), $$ $$ f^{-1}(\{-1\})= \emptyset $$

性質

像、逆像と共通部分、和集合の間には次のような性質が成り立ちます。

$f:A \to B$、$ U_1, U_2 \subset A $, $ V_1, V_2 \subset B $に対し、以下が成り立つ。

\begin{align} &( 1 ) &f(U_1 \cup U_2) &= f(U_1) \cup f(U_2) \\[5pt] &(2) &f(U_1 \cap U_2) &\subset f(U_1) \cap f(U_2) \\[5pt] &(3) &f^{-1}(V_1 \cup V_2) &= f^{-1}(V_1) \cup f^{-1}(V_2) \\[5pt] &(4) &f^{-1}(V_1 \cap V_2) &= f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2) \\[5pt] &(5) &f^{-1}(f(U_1)) &\supset U_1 \\[5pt] &(6) &f(f^{-1}(V_1)) &\subset V_1 \\
\end{align}
さらにfが単射なとき、(2), (5)は等号となる。

(2)は一般には等号にならないことに注意しましょう。

証明

$ ( 1 ) f(U_1 \cup U_2) = f(U_1) \cup f(U_2) $
$ y\in f(U_1 \cup U_2) $とする。この時、ある$ x\in U_1 \cup U_2$が存在し、$y=f(x)$となる。
$ x\in U_1 \cup U_2$より、$x\in U_1またはx\in U_2$となる。前者の場合$y=f(x)\in f(U_1),$
$ 後者の場合y=f(x) \in f(U_2)$となる。従って$y\in f(U_1) \cup f(U_2)となる。 $

$逆にy\in f(U_1) \cup f(U_2)$とする。$y\in f(U_1)$のとき、ある$x\in U_1が存在しy=f(x)となり、$
$ y\in f(U_2)$のとき、ある$x\in U_2$が存在し$y=f(x)となる。$
$以上をまとめると、あるx\in U_1\cup U_2$が存在し$y=f(x)となるということ。$
$すなわちy\in f(U_1) \cup f(U_2)となる。 $

以上より、$ f(U_1 \cup U_2) = f(U_1) \cup f(U_2) $

$ (2) f(U_1 \cap U_2) \subset f(U_1) \cap f(U_2) $
$ y\in f(U_1 \cap U_2)$とする。この時、ある$x\in U_1 \cap U_2$が存在し、$y=f(x)となる。$
$ x\in U_1よりf(U_1)$で、$x\in U_2よりf(U_2)となる。$
$よってy\in f(U_1) \cap f(U_2) となる。$

以上より、$ f(U_1 \cap U_2) \subset f(U_1) \cap f(U_2) が成立する。$

$ さらにf:単射とし、y\in f(U_1) \cap f(U_2) とする。$
$ y\in f(U_1)$よりある$x_1\in U_1$が存在し、$f(x_1)=yとなり、$
$ y\in f(U_2)$よりある$x_2\in U_2$が存在し、$f(x_2)=yとなる。$
$ f $ :単射なので、$f(x_1)=f(x_2)$から$x_1=x_2$が従う。
$したがってx_1=x_2\in U_1 \cap U_2$となり、$f(x_1)=f(x_2)=y\in f(U_1 \cap U_2)$となる。
よって逆向きの包含も成立する。

$ (3) f^{-1}(V_1 \cup V_2) = f^{-1}(V_1) \cup f^{-1}(V_2) $
$ x\in f^{-1}(V_1 \cup V_2)$とする。この時、$f(x)\in V_1 \cup V_2となる。$
$ f(x)\in V_1$の時は$x\in f^{-1}(V_1)$となり、$f(x)\in V_2$の時は$x\in f^{-1}(V_2)である。 $
$したがって、x\in f^{-1}(V_1) \cup f^{-1}(V_2) である。$

$逆に、x\in f^{-1}(V_1) \cup f^{-1}(V_2) とする。$
$ x\in f^{-1}(V_1)$の時は$f(x)\in V_1$となり、$x\in f^{-1}(V_2)$の時は$f(x)\in V_2となる。$
$よってf(x)\in V_1 \cup V_2$となり、$x\in f^{-1}(V_1 \cup V_2)が従う。$

$以上より、f^{-1}(V_1 \cup V_2) = f^{-1}(V_1) \cup f^{-1}(V_2) $

$ (4) f^{-1}(V_1 \cap V_2) = f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2) $
$ x\in f^{-1}(V_1 \cap V_2)$とする。この時、$f(x)\in V_1 \cap V_2となる。$
$ f(x)\in V_1よりx\in f^{-1}(V_1)$で、$ f(x)\in V_2$より$x\in f^{-1}(V_2)である。$
$したがって、x\in f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2) となる。$

$逆に、x\in f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2)とする。$
$ x\in f^{-1}(V_1)$より$f(x)\in V_1$で、$x\in f^{-1}(V_2)$より$f(x)\in V_2となる。$
$よってf(x)\in V_1 \cap V_2$となり、$x\in f^{-1}(V_1 \cap V_2)が従う。$

$以上より、f^{-1}(V_1 \cap V_2) = f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2)$

$ (5) f^{-1}(f(U_1)) \supset U_1 $
$ x\in U_1とすると、f(x)\in f(U_1)$となり、$x\in f^{-1}(f(U_1))が従う。$
$ よって f^{-1}(f(U_1)) \supset U_1 となる。$

$さらにf:単射とし、x\in f^{-1}(f(U_1))とする。$
$このときf(x)\in f(U_1)$となる。よってある$x’\in U_1$が存在し、$f(x’)=f(x)が成立する。$
$ここでf:単射よりx=x’となり、x\in U_1が従う。$
$よって逆向きの包含も成立する。$

$ (6) f(f^{-1}(V_1)) \subset V_1 $
$ y\in f(f^{-1}(V_1)) $とする。このとき、ある$x\in f^{-1}(V_1)$が存在し、$f(x)=yとなる。$
$ x\in f^{-1}(V_1)$より、$y=f(x)\in V_1が従う。$
$ よって f(f^{-1}(V_1)) \subset V_1 となる。$

ちなみに筆者は(5)の包含の向きを、行って戻って大きくなっていることから、
“偉そうな出戻り”と覚えています。