純非分離拡大 - 数学をやろう！

本記事では純非分離拡大の定義と、同値な言い換えについて解説します。

定義
性質

定義

定義は以下の通りです。

$L / K$ を代数拡大とする。任意の $a \in L ∖ K$ が $K$ 上分離的でないとき、 $L / K$ は純非分離拡大であるという。

その名の通り、究極まで分離拡大から遠い拡大のことです。

少し注意が必要なのが、自明な拡大 $K / K$ は純非分離拡大となるということです。なぜなら、上の定義の条件は $a \in L ∖ K \Rightarrow a は K 上非分離的 \dots (*)$ ということですが、自明な拡大 $K / K$ については $L ∖ K$ は空集合なので、前提 $a \in L ∖ K$ が常に偽となってしまいます。なので条件 $(*)$ は常に成立します(空虚な真)。

自明な拡大は分離拡大なので、「純非分離拡大だからといって非分離拡大とは限らない」という、ちょっとややこしいことになっています。もちろん $L \neq K$ なる非自明な拡大については

純非分離拡大ならば非分離拡大

は成立します。特に非自明な純非分離拡大は正標数の場合にしか起こり得ません。

性質

元の分離性や非分離性は得てして直接チェックしづらいので、定義の条件を何かしらの形で言い換えられたら嬉しいですね。ありがたいことに、次のような言い換えが成立します。

標数 $p > 0$ の代数拡大 $L / K$ に対し以下は同値。 $\begin{aligned} (1) L / K は純非分離拡大 \\ (2) 任意の a \in L に対し n \geq 0 があり a^{p^{n}} \in K となる \end{aligned}$

(証明)
$L = K$ のとき、(1)は常になりたつ。また(2)についても、 $n = 0$ があらゆる元に対し条件を満たすので常に成立する。よって以下 $L \neq K$ とする。

$(1) \Rightarrow (2)$ $a \in L$ とする。 $a \in K$ のときは $n = 0$ と取ればよいので、以下 $a \in L ∖ K$ とする。 $a$ の $K$ 上の最小多項式を $f (X) \in K [X]$ とすると、ある整数 $n \geq 1$ と既約な分離多項式 $g (X) \in K [X]$ によって $f (X) = g (X^{p^{n}})$ と表せる(こちらを参照のこと)。 $g (a^{p^{n}}) = f (a) = 0$ より $a^{p^{n}}$ は $g (X)$ の根である。従って $g (X)$ は $a^{p^{n}}$ の $K$ 上の最小多項式となる。よって $a^{p^{n}} \in L$ は $K$ 上分離的であり、純非分離拡大の定義(の対偶)から $a^{p^{n}} \in K$ が従う。

$(1) \Leftarrow (2)$ $a \in L ∖ K$ とする。(2)よりある $n \geq 0$ が存在し、 $a^{p^{n}} \in K$ となる。このとき多項式 $X^{p^{n}} - a^{p^{n}} \in K [X]$ は $a$ を根にもつので、 $a$ の $K$ 上の最小多項式 $f (X) \in K [X]$ は $X^{p^{n}} - a^{p^{n}}$ を割り切る。いま $X^{p^{n}} - a^{p^{n}} = (X - a)^{p^{n}}$ が成立するので、 $f (X) = (X - a)^{m} (1 \leq m \leq p^{n})$ と表せることが従う。 $m = 1$ だと $a \in K$ となり矛盾するので $m \geq 2$ であり、 $f (X)$ は $a$ を重根として持つ。よって $a$ は $K$ 上分離的でない。

(証明終)

(実は最後の証明において $m = p^{n}$ が成立します)