正規拡大 - 数学をやろう！

本記事では正規拡大の定義と例について解説します。ガロア理論をやるためには必須の概念なのでしっかり理解しておきましょう。

定義
例
1. 正規拡大の例
2. 非正規拡大の例
最後に

定義

定義は以下の通りです。

\(L/K\)を体の代数拡大とする。任意に\(x\in L\)を取り、\(x\)の\(K\)上の最小多項式を\(f(X)\in K[X]\)が\(L[X]\)としたとき、\(L\)が\(f(X)\)の分解体となっている、すなわち\[f(X)=c(X-a_1)\cdots(X-a_n)\quad(a_i\in L)\]と分解できるとき、拡大\(L/K\)を正規拡大と呼ぶ。

ラフに言うと、多項式を因数分解するために必要な元が十分に増えている拡大ということです。

\(x,y\in L\)に対し、それぞれの\(K\)上の最小多項式が一致しているとき、\(x\)と\(y\)は(\(K\)上)共役であると言います。これにより正規拡大とは

任意の\(x\in L\)に対し、その\(K\)上の共役元がすべて\(L\)に含まれる。

と言い換えることができます。

例

少し例を見てみましょう。分かりやすく\(\mathbb{Q}\)の拡大に絞って考えてみます。

正規拡大の例

拡大\(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}\)を考えてみます。\(\mathbb{Q}(\sqrt2)\)の\(\mathbb{Q}\)上の基底を例えば\(\{1,\sqrt2\}\)と取ると、任意の\(x\in \mathbb{Q}(\sqrt2)\)は\[x=a+b\sqrt2\quad(a,b\in \mathbb{Q})\]と表せます。このとき\(x\)の\(\mathbb{Q}\)上の最小多項式は\[f(X)=\begin{cases}X-a & (b=0)\\X^2-2aX+a^2-2b^2 & (b\neq0)\end{cases}\]で与えられます。前者は一次式なので、そもそもこれ以上分解できませんし、後者も\(\mathbb{Q}(\sqrt2)[X]\)においては\[f(X)=(X-a-b\sqrt2)(X-a+b\sqrt2)\]と分解できます。従って\(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}\)は正規拡大であることが分かりました。

また、今の議論から\(a+b\sqrt2\)の\(\mathbb{Q}\)上の共役元は\(a-b\sqrt2\)だけだということが分かります。そしてこれは\(\mathbb{Q}(\sqrt2)\)に入っており、このことからも\(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}\)が正規拡大だということができます。場合によって最小多項式を求めるのか共役元を求めるのかを使い分けていきましょう。(実質同じ作業な気もしますが)

さらに実は今のような有限生成体拡大\(K(a_1,\dots,a_n)/K\)については、各\(a_i\)の共役元が含まれていることを示せば十分なことが知られています。今の場合だと\(\sqrt2\)の共役元である\(-\sqrt2\)が含まれていることを示せばよいというわけです。一気に手間が減りましたね。このあたりについては以下の記事にて解説しています。

また、極端な例を挙げておくと代数閉包への拡大\(\overline {\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\)も当然ですが正規拡大です。あらゆる多項式を分解できるよう最大限に元を増やしたのが代数閉包なので、当たりまえですね。

非正規拡大の例

典型的な例は次のようなものです。

拡大\(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)/\mathbb{Q}\)を考えてみましょう。\(\sqrt[3]2\)の\(\mathbb{Q}\)上の最小多項式は\(X^3-2\)です。実際、これは\(\sqrt[3]2\)を根にもつモニック多項式で、さらにアイゼンシュタインの既約判定法から既約なことも分かるので、最小多項式となっています。

ここで\(X^3-2=0\)を解いてみると、\[X=\sqrt[3]2,\sqrt[3]2\omega,\sqrt[3]2\omega^2\quad(\omega:=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\]となります。ここで注目すべきは、\(\sqrt[3]2\)以外の解が実数ではないということです。いま\(\sqrt[3]2\in \mathbb{R}\)なので少なくとも\(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\subset \mathbb{R}\)は成立します。従って\(\sqrt[3]2\)以外の2解は\(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\)には含まれないということが分かります。

以上より、\(\sqrt[3]2\)の\(\mathbb{Q}\)上の共役元で\(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\)に含まれないものが存在するので、拡大\(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)/\mathbb{Q}\)は正規拡大ではありません。

最後に

本記事では正規拡大の定義と、基本的な例について解説しました。正規拡大の定義については同値な言い換えがいくつか存在するので、そちらについてもまた別記事で解説予定です。また、基本的な性質についても今回は割愛しましたが今後別記事にて解説します。