正規拡大体の自己準同型

本記事では正規拡大体の自己準同型に関する性質を紹介します。正規拡大の振舞いの良さが如実に表れており、とてもありがたい性質となっています。

性質

$L/K$ を正規拡大とする。このとき、以下が成立する。$$\mathrm{Aut}(L/K)={\mathrm{Hom}}_K(L,L)\cong {\mathrm{Hom}}_K(L,\bar{K})$$特に $L/K$ が有限次正規拡大のときは、これらはすべて有限集合で、$$|\mathrm{Aut}(L/K)|=|{\mathrm{Hom}}_K(L,L)|=|{\mathrm{Hom}}_K(L,\bar{K})|$$が成立する。

ここで $\bar{K}$ は $L$ を含む $K$ の代数閉包とし、$\cong$ は全単射を意味することとする。

証明

定義から $\mathrm{Aut}(L/K)\subset {\mathrm{Hom}}_K(L,L)$ なので、まずはこの逆の包含を示す。$\varphi \in {\mathrm{Hom}}_K(L,L)$ とする。これが同型なことを言いたいので、全射性を示せばよい。

$a\in L$ とする。$a$ の $K$上の最小多項式を $f_a(X)\in K[X]$ とし、その最小分解体を $M$ とする。いま $L/K$ は正規拡大なので、$L$ は $f_a(X)$ の分解体となっている。従って $M$ は $L$ の部分体であり、定義から $M/K$ は有限次正規拡大である。

ここで、正規拡大の性質から、$\varphi (M)\subset M$ となる。また、$\varphi$ は単射なので、$${\dim }_K\varphi (M)={\dim }_{K}M$$が成立する。従って $\varphi (M)=M$ が成立する。よって $a\in M$ より、$\varphi (b)=a$ なる $b\in M\subset L$ が取れるので $\varphi$ は全射である。

以上より$\mathrm{Aut}(L/K)={\mathrm{Hom}}_K(L,L)$となる。

次に後半の全単射をみる。$i:L\hookrightarrow \bar{K}$を包含写像とし、$$I:{\mathrm{Hom}}_K(L,L)\to {\mathrm{Hom}}_K(L,\bar{K})$$を$\varphi \mapsto i\circ \varphi$で定める。$i$ が単射なので、$$\begin{array}{rl}I(\varphi )=I(\psi )& \iff i\circ \varphi =i\circ \psi \\ & \iff i(\varphi (x))=i(\psi (x))(\mathrm{\forall }x\in L)\\ & \iff \varphi (x)=\psi (x)(\mathrm{\forall }x\in L)\\ & \iff \varphi =\psi \end{array}$$となるので $I$ は単射。

また、$\varphi \in {\mathrm{Hom}}_K(L,\bar{K})$とすると、再び正規拡大の性質から、$$\varphi (L)\subset L$$となる。よって$\varphi$は${\mathrm{Hom}}_K(L,L)$の元とみなせる。

より正確に書けば、${\varphi }^{\prime }\in {\mathrm{Hom}}_K(L,L)$が$${\varphi }^{\prime }(x):=\varphi (x)$$によって定められて、この定義から$I({\varphi }^{\prime })=\varphi$となり$I$が全射となる。

以上より$I$は全単射。

(証明終)

最後に

本記事で紹介した性質は要するに

正規拡大体の自己準同型は自動的に自己同型になる！！

ということです。偉いですね。

丁寧にやりすぎて、冗長な証明になってしまったかもしれません……