本記事では正規拡大体の自己準同型に関する性質を紹介します。正規拡大の振舞いの良さが如実に表れており、とてもありがたい性質となっています。
性質
\(L/K\)を正規拡大とする。このとき、以下が成立する。\[\mathrm{Aut}(L/K)= \mathrm{Hom}_K(L,L)\cong\mathrm{Hom}_K(L,\overline K)\]特に\(L/K\)が有限次正規拡大のときは、これらはすべて有限集合で、\[|\mathrm{Aut}(L/K)|=|\mathrm{Hom}_K(L,L)|=|\mathrm{Hom}_K(L,\overline K)|\]が成立する。
ここで\(\overline K\)は\(L\)を含む\(K\)の代数閉包とし、\(\cong\)は全単射を意味することとする。
証明
定義から\(\mathrm{Aut}(L/K)\subset\mathrm{Hom}_K(L,L)\)なので、まずはこの逆の包含を示す。\(\phi\in \mathrm{Hom}_K(L,L)\)とする。これが同型なことを言いたいので、全射性を示せばよい。
\(a\in L\)とする。\(a\)の\(K\)上の最小多項式を\(f_a(X)\in K[X]\)とし、その最小分解体を\(M\)とする。いま\(L/K\)は正規拡大なので、\(L\)は\(f_a(X)\)の分解体となっている。従って\(M\)は\(L\)の部分体であり、定義から\(M/K\)は有限次正規拡大である。
ここで、正規拡大の性質から、\(\phi(M)\subset M\)となる。また、\(\phi\)は単射なので、\[\dim_K \phi(M)=\dim_K M\]が成立する。従って\(\phi(M)=M\)が成立する。よって\(a\in M\)より、\(\phi(b)=a\)なる\(b\in M\subset L\)が取れるので、\(\phi\)は全射である。
以上より\(\mathrm{Aut}(L/K)= \mathrm{Hom}_K(L,L)\)となる。
次に後半の全単射をみる。\(i:L\hookrightarrow\overline K\)を包含写像とし、\[I:\mathrm{Hom}_K(L,L)\rightarrow\mathrm{Hom}_K(L,\overline K)\]を\(\phi\mapsto i\circ\phi\)で定める。\(i\)が単射なので、\begin{align}I(\phi)=I(\psi)&\Leftrightarrow i\circ\phi=i\circ\psi\\&\Leftrightarrow i(\phi(x))=i(\psi(x))\quad(\forall x\in L)\\&\Leftrightarrow\phi(x)=\psi(x)\quad(\forall x\in L)\\&\Leftrightarrow \phi=\psi\end{align}となるので\(I\)は単射。
また、\(\phi\in\mathrm{Hom}_K(L,\overline K)\)とすると、再び正規拡大の性質から、\[\phi(L)\subset L\]となる。よって\(\phi\)は\(\mathrm{Hom}_K(L,L)\)の元とみなせる。
より正確に書けば、\(\phi’\in\mathrm{Hom}_K(L,L)\)が\[\phi'(x):=\phi(x)\]によって定められて、この定義から\(I(\phi’)=\phi\)となり\(I\)が全射となる。
以上より\(I\)は全単射。
(証明終)
最後に
本記事で紹介した性質は要するに
正規拡大体の自己準同型は自動的に自己同型になる！！
ということです。偉いですね。
丁寧にやりすぎて、冗長な証明になってしまったかもしれません……
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