最小多項式 - 数学をやろう！

本記事では最小多項式について解説します。

定義
存在、一意性
性質

定義

$L/K$を体の拡大とし、$a\in L$を$K$上代数的な元とする。このとき、$f(a)=0$なるモニック多項式$f(X)\in K[X]$の中で次数最小のものを$a$の$K$上の最小多項式と呼ぶ。

少し例を見てみましょう。拡大$\mathbb{C}/\mathbb{Q}$を考えてみます。例えば$\sqrt2$を根に持つ多項式は以下の通りいろいろありますが、最小多項式の条件を満たすものは一つだけです。

$x^2-2$　　($\mathbb{Q}$上の最小多項式)
$x-\sqrt2$ 　 (係数が$\mathbb{Q}$の元でない。)
$2x^2-4$ 　 (モニックでない)
$x^4-4$　　(次数が最小でない)

ここで注意しておきたいのは、最小多項式は下の体に依存するということです。例えば同じ$\sqrt2$でも、$\mathbb{R}$上の最小多項式は$x-\sqrt2$となります。

当然ながら、そんなものが必ず存在するのかが問題になってきます。

存在、一意性

代数的な元については最小多項式が必ず、しかも一意に存在することを確認しましょう。

$L/K$を体の拡大、$a\in L$を$K$上代数的な元とする。このとき$a$の$K$上の最小多項式は一意に存在する。

(証明)
(存在) 代入による環準同型$$\phi_a:K[X]\to L\:;f(X)\mapsto f(a)$$を考える。いま$K[X]$はPIDなので、ある$F'(X)\in K[X]$を用いて$$\ker\phi_a=(F'(X))$$と表せる。いま$a$が$K$上代数的な事より$\ker\phi_a\neq(0)$なので、$F'(X)\neq0$である。また、$\phi_a$に準同型定理を適用し、\[K[X]/(F'(X))\cong K(a)\]を得る。いま右辺は体なので、$(F'(X))$は極大イデアルである。特に$(F'(X))\neq K[X]$なので、\[F'(X)\notin K[X]^{\times}=K^{\times}\]となる。以上より$F'(X)\notin K$すなわち\[\deg F'(X)\geq1\]が従う。$F'(X)$の最高次係数を$d$とし、$$F(X):=\frac{1}{d}F'(X)$$とおく。この$F(X)$が$a$の$K$上の最小多項式となることをみよう。モニックなのは明らか。さらに$F(X)\in \ker\phi_a$より$$F(a)=\phi_a(F(X))=0$$となる。よって残りは次数の最小性だが、$0<\deg G(X)<\deg F(X)$なる多項式$G(X)\in K[X]$で$G(a)=0$を満たすものが存在したと仮定すると、$G(X)\in \ker\phi_a$よりある$H(X)\in K[X]$ ($H(X)\neq0$)を用いて$$G(X)=F(X)H(X)$$と表せる。しかし両辺の次数を考えると、$$\deg G(X)=\deg (F(X)H(X))=\deg F(X)+\deg H(X)>\deg G(X)$$となり矛盾。よって次数の最小性も確かめられ、$F(X)$が最小多項式となることが示された。
(一意性) 別の多項式$f(X)\in K[X]$が最小多項式の条件を満たしたとする。$f(a)=0$より、$$f(X)\in \ker\phi_a=(F(X))$$なので、$$f(X)=g(X)F(X)$$と表せる。ここで$f(X),F(X)$はともに$\ker\phi_a$の中で次数最小なので、$\deg f(X)=\deg F(X)$となる。従って$\deg g(X)=0$すなわち$$g(X)=c\in K$$となる。よって$f(X)=cF(X)$となるが、いま$f(X),F(X)$はともにモニックなので、最高次係数を比較することで$c=1$が従い、結局$f(X)=F(X)$となることが分かる。
(証明終)

性質

上の証明から以下の性質が導かれます。

$L/K$を体の拡大、$a\in L$を$K$上代数的な元とし、その$K$上の最小多項式を$F(X)$とする。このとき、$f(X)\in K[X]$に対し以下が成立する。$$f(a)=0\Leftrightarrow f(X)はF(X)で割り切れる$$

$L/K$を体の拡大、$a\in L$を$K$上代数的な元とする。このとき$a$を根にもつモニック多項式$f(X)\in K[X]$に対し、以下が成立する。$$f(X)は既約\Leftrightarrow f(X)はaのK上の最小多項式$$