商体の同値な言い換え - 数学をやろう！

本記事では商体の定義の同値な言い換えについて紹介、証明します。

主張
証明

主張

$A$を整域、$K$を体、$A$の商体を$\mathrm{Frac}(A):=A_{(0)}$とする。このとき以下は同値。
\begin{align} &(1)\:K\cong \mathrm{Frac}(A)\\[5pt]&(2)\:KはAを含む最小の体である。\end{align}

※ここで$K$が$A$を含むとは、単射$i:A\hookrightarrow K$が存在するという意味です。$A$を部分環$\;i(A)\subset K$と同一視しているわけですね。

※※(2)の主張を正確に書けば、”☆単射$\phi:A\hookrightarrow K$が存在し、任意の体$L$と単射環準同型$f:A\hookrightarrow L$に対し、環準同型$\psi:K\hookrightarrow L$が存在し$f=\psi \circ \phi$が成立する”となります。

証明

$(1)\Rightarrow(2)$
$\mathrm{Frac}(A)$が$A$を含む体の中で最小であることを言いたいので、体$L$と単射$f:A\hookrightarrow L$を任意にとる。この時$f:$単射より、ゼロでない元$a\in A$に対し$$f(a)\neq 0\in L$$となる。今$L$は体なので、$f(a)$は$L$の単元となる。よって局所化の普遍性より環準同型$$\widetilde{f}:\mathrm{Frac}(A)\to L$$が存在する。$\mathrm{Frac}(A)$は体なので、$\widetilde{f}$は単射。以上で$\mathrm{Frac}(A)$は$A$を含む任意の体に含まれることが示せた。

$(2)\Rightarrow(1)$
$K$が上記の☆を満たしたとする。いま自然な環準同型$i:A\to \mathrm{Frac}(A)$は単射なので、(2)より環準同型$\psi:K\to \mathrm{Frac}(A)$が存在し、$i=\psi \circ \phi$が成立する。
一方$\phi:A\to K$が単射なので、上と同様に局所化の普遍性より環準同型$j:\mathrm{Frac}(A)\to K$で$\phi=j\circ i$を満たすものが一意に存在する。ここで局所化の普遍性について思い出すと、$\displaystyle \frac{a}{b}\in \mathrm{Frac}(A)$に対し$$j\left( \frac{a}{b} \right) = \phi(a)\phi(b)^{-1}$$と表せる。よって\begin{align}(\psi\circ j)\left(\frac{a}{b}\right)&=\psi(\phi(a)\phi(b)^{-1})\\&=i(a)i(b)^{-1}\\&=\frac{a}{b}\end{align}となり、$\psi\circ j=id$が成立する。特に$\psi$は全射である。

以上より$\psi:K\to \mathrm{Frac}(A)$は同型写像である。

(証明終わり)