有限次拡大と代数拡大の関係

本記事では以下の性質を示します。

体の拡大$L/K$について、以下は同値。\begin{align}&(1)L/Kは有限次拡大\\[5pt]&(2) L/Kは有限生成代数拡大\\[5pt]&(3)K上代数的なa_1,\dots,a_n\in LによってL=K(a_1,\dots,a_n)と表せる。\end{align}

補題
証明

補題

まずは証明に用いる補題を用意します。

体の拡大$L/K$と$a\in L$に対し、以下は同値。
\begin{align}&(1)\quad aはK上代数的\\[5pt]&(2)\quad K[a]=K(a)\end{align}

代数的な元の特徴づけですね。

(補題の証明)
(1)$\Rightarrow$(2) 環準同型$K[X]\to L$を$$\phi_a:f(X)\mapsto f(a)$$によって定める。この像$\mathrm{Im}\phi_a$こそが$K[a]$である。また、$a$が$K$上代数的であることから$\mathrm{ker}\phi_a\neq (0)$である。さらに$K[X]$はPIDなので、ある元$f(X)\in K[X]\:(\mathrm{deg}f(X)>0)$によって$\mathrm{ker}\phi_a=(f(X))$と表される。準同型定理より$$K[X]/(f(X))\cong K[a]$$となり、右辺は体$L$の部分環なので整域である。従って$f(X)$は素元で、特に既約である。よって$(f(X))$は極大イデアルで、左辺が体となることが分かる。よって$K[a]$は体となり$K(a)$の最小性から$$K[a]=K(a)$$となる。
(1)$\Leftarrow$(2) $a=0$のとき主張は自明なので、$a\neq 0$とする。$a^{-1}\in K[a]$より、ある$c_i\in K$が存在し、$$a^{-1}=c_na^n+\dots +a_0$$と表せる。辺々$a$をかけて整理することで、$$c_na^{n+1}+\dots+c_0a-1=0$$となり、$a$は$K$上代数的である。
(証明終)

では本筋の証明に戻りましょう。

証明

$(1)\Rightarrow(2)$ 有限生成は明らかなので、代数的であることを示す。$[L:K]=n$とおき、$x\in L$を任意に取る。このとき$n+1$個の元$\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$は$K$上一次従属とならざるを得ない。よって$(a_0,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)$なる$a_i\in K$が存在し$$a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=0$$が成立する。これはすなわち$x$が\[a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in K[X]\]の根だということに他ならない。よって$x$は$K$上代数的。

$(2)\Rightarrow(3)$有限生成であることから、ある$a_1,\dots,a_n\in L$によって\[L=K(a_1,\dots,a_n)\]と表せて、代数拡大であることから各$a_i$は$K$上代数的である。

$(3)\Rightarrow(1)$　$(3)$より$L=K(a_1,\dots,a_n)\qquad(a_i\in L)$と表せる。$n$に関する帰納法で示す。
($n=1$)上の補題より$K(a)=K[a]$となる。$a$の$K$上の最小多項式を$$f(X)=X^n+c_{n-1}X^{n-1}+\dots+c_0$$としたとき、{$1,a,\dots,a^{n-1}$}が$K[a]$の$K$上の基底となることを示す。
($K[a]$を張ること)$$A:=K+Ka+\dots+Ka^{n-1}=\mathrm{span}_K\{a^i\}_{i=0,…,n-1}$$とおく。$A=K[a]$をいえばよく、そのためには任意の非負整数$m$に対し$a^m\in A$をいえば十分。$0\leq m \leq n-1$の時は明らか。$m=n$のときは$$a^n=-c_{n-1}a^{n-1}-\dots -c_0\in A$$より良い。$m\geq n$のとき、$a^m\in A$と仮定すると、$$a^m=c’_{n-1}a^{n-1}+\dots+c’_0$$と表せて、辺々$a$をかけることで\begin{align}a^{m+1}&=c’_{n-1}a^n+\dots+c’_0a\\&=c’_{n-1}(-c_{n-1}a^{n-1}-\dots -c_0)+\dots+c_0a\\&=(-c’_{n-1}c_{n-1}+c’_{n-2})a^{n-1}+\dots-c’_{n-1}c_0\in A\end{align}となり、帰納的に任意の$m$に対し$a^m\in A$となる。

(一次独立性)$d_{n-1}a^{n-1}+\dots+d_0=0$ ($d_i\in K$)とする。このとき$d_{n-1}=\cdots=d_0=0$でないと、$f(X)$が$a$の最小多項式であることに矛盾する。よってこれらは$K$上一次独立。

以上より{$1,a,\dots,a^{n-1}$}は$K[a]$の$K$上の基底となり、$K(a)/K$が有限次拡大であることが示せた。

一般の$n$については$n-1$以下の場合を仮定し、$K’:=K(a_1,\dots,a_{n-1})$とおく。仮定より$K’/K$は有限次拡大である。$a_n$は$K$上代数的なので、特に$K’$上も代数的である。従って上で示したことより、$K'(a_n)/K’$は有限次拡大。よって$K'(a_n)=K(a_1,\dots,a_n)/K$は有限次拡大となる。

以上より帰納法がまわり、$K(a_1,\dots,a_n)/K$が有限次拡大となることが示せた。

(証明終)