代数拡大の基本的な性質 - 数学をやろう！

本記事では代数拡大の中間体、合成体に関する性質を解説します。

主張
証明

主張

$L / K$ を体の拡大、 $M, E, F$ をその中間体とし、 $E F$ を $E$ と $F$ の合成体とする。このとき以下が成立する。 $\begin{aligned} (1) & L / K は代数拡大 & \Leftrightarrow L / M, M / K はともに代数拡大 \\ (2) & E / K は代数拡大 & \Rightarrow E F / F は代数拡大 \\ (3) & E F / K は代数拡大 & \Leftrightarrow E / K, F / K はともに代数拡大 \end{aligned}$

図示すると以下のようになります。

証明

基本的には定義通り確認していきます。体論でよくやるように、有限次拡大に帰着して示す部分もあるので、必要ならこちらの記事も参考にしてください。

(証明)
(1)
( $\Leftarrow$ ) $x \in L$ を任意に取ると、 $L / K$ が代数拡大であることより、ある $f (X) \in K [X]$ が存在し、 $f (x) = 0$ が成立する。ここで $K \subset M$ より $f (X)$ は $M [X]$ の元でもあるので、 $x$ は $M$ 上代数的でもある。よって $L / M$ は代数拡大。
さらに任意に $y \in M$ を取る。 $M \subset L$ より $y$ は $L$ の元でもあり、 $L / K$ が代数拡大なことにより $g (X) \in K [X]$ で $g (y) = 0$ なるものが存在する。よって $y$ は $K$ 上代数的であり、 $M / K$ が代数拡大なことが従う。

( $\Rightarrow$ ) $x \in L$ を任意に取る。 $L / M$ が代数拡大であることより、 $M$ 係数多項式 $f (X) = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0} (a_{i} \in M)$ が存在し $f (x) = 0$ となる。ここで拡大体 $K^{'} := K (a_{0}, \dots, a_{n})$ を考える。列 $M / K^{'} / K$ に着目すると、 $M / K$ が代数拡大な事より、 $K^{'} / K$ も代数拡大であることが上で示したことから分かる。よって拡大 $K^{'} / K$ は有限生成な代数拡大となる。従って $K^{'} / K$ は有限次拡大である(こちらを参照のこと)。同様にいま $x$ は $K^{'}$ 上代数的なので、 $K^{'} (x) / K^{'}$ も有限次拡大である。以上より拡大 $K^{'} (x) / K$ が有限次拡大であることが分かり、特にこれは代数拡大である。よって $x$ は $K$ 上代数的で、 $L / K$ が代数拡大なことが示された。

(2) $x \in E F$ を任意に取る。定義から $x = a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} (a_{i} \in E, b_{i} \in F)$ と表せる。ここで拡大体 $F^{'} := F (a_{1}, \dots, a_{n})$ を考えると、仮定から各 $a_{i}$ は $K$ 上代数的なので特に $F$ 上も代数的である。従って $F^{'} / F$ は代数拡大。上式から明らかに $x \in F^{'}$ なので、 $x$ は $F$ 上代数的。よって $E F / K$ は代数拡大

(3)　
( $\Rightarrow$ ) $L = E F, M = E, F$ として(1)を適用すればよい。

( $\Leftarrow$ ) $E / F$ は代数拡大なので(2)から $E F / F$ は代数拡大。いま $F / K$ も代数拡大なので(1)から $E F / K$ は代数拡大である。

(証明終)