体の拡大の一種、代数拡大について紹介します。体論をやる上で最も基本的な概念の一つなので、しっかり理解しておきましょう！
定義
\(L/K\)を体の拡大とする。\(x\in L\)が(\(K\)上)代数的であるとは、ある\(K\)係数多項式\(f(X)\in K[X]\)が存在し、$$f(x)=0$$となること。また、\(K\)上代数的でないとき(\(K\)上)超越的という。
要するに\(x\)を根にもつ\(K\)係数多項式があるということです。少し\(\mathbb{C}/\mathbb{Q}\)の例を考えてみましょう。
\(\mathbb{Q}\)上代数的な複素数の例
- \(1\qquad(x-1\)の根)
- \(\sqrt2\qquad(x^2-2\)の根)
- 虚数単位 \(i\qquad(x^2+1\)の根)
\(\mathbb{Q}\)上超越的な複素数の例
- 円周率 \(\pi\)
- ネイピア数 \(e\)
これらの数を超越数と呼んだりしますね。
次に代数拡大の定義をします。
\(L/K\)を体の拡大とする。任意の\(x\in L\)が\(K\)上代数的なとき、\(L/K\)は代数拡大であるといい、そうでないとき超越拡大という。
例
いくつか例を見てみましょう。
代数拡大の例
まず最初に\(\mathbb{C}/\mathbb{R}\)を考えてみます。これが代数拡大となることをチェックしてみましょう。任意の複素数\(z\in \mathbb{C}\)は実数\(s,t\in \mathbb{R}\)を使って\[z=s+ti\]と表せます。ここで、実数係数多項式\[f(X)=X^2-2sX+s^2+t^2\in\mathbb{R}[X]\]に\(z\)を代入してみると\begin{align}f(z)&=(s+ti)^2-2s(s+ti)+s^2+t^2\\[5pt]&=s^2+2sti-t^2-2s^2-2sti+s^2+t^2=0\end{align}となるので、\(f(X)\)は\(z\)を根に持ちます。従って任意の複素数は\(\mathbb{R}\)上代数的であることが分かりました。
このように定義通り確認しようとすると全ての元に対し、それを根に持つ多項式を持ってこないといけないので多少大変です。
実は有限生成な体拡大については生成元が代数的であることを示せれば、それは代数拡大(実はより強く有限次拡大)であるということが知られています。例えば今の例だと、\(\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)\)なので、\(i\)が\(\mathbb{R}\)上代数的であることをみれば十分だということです。こちらの記事で詳しく解説していますので、是非ご覧ください。
この理由から、\(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}\)や\(\mathbb{Q}(\sqrt{-3})/\mathbb{Q}\)なども代数拡大になります。
超越拡大の例
- \(\mathbb{C}/\mathbb{Q}\:\:\:(\pi, e\)などが超越的)
- \(\mathbb{C}(X)/\mathbb{C}\:\:(X\)が超越的)
最後に
代数拡大の定義と、簡単な例をいくつか紹介しました。体論において、体の拡大が代数拡大か超越拡大かというのは最も大きな分類の一つで、それぞれの分類の中でさらに細分されています(代数拡大の中の分離拡大やガロア拡大、超越拡大の中の純超越拡大など)。こうしたより強い条件を満たす体拡大についてはさまざまな面白い性質が発見されており、その中の一つがかの有名なガロア理論です。本サイトでは(学部レベルの)基本的なガロア理論まわりの内容を紹介していきますので、よろしければ他記事もごらんください！
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