本記事では環の局所化について、定義や気持ちを解説します。
準備
まず定義に必要なものを準備します。
\(A\)を可換環とする。この時、以下を満たす部分集合\(S\subset A\)を積閉集合と呼ぶ。\begin{align}&(1)\;\;1\in S\\&(2)\;\;a,b\in S\Rightarrow ab\in S \end{align}
その名の通り、”積”について”閉じている”集合というわけですね。
定義
とりあえず定義をします。
\(A\)を可換環、\(S\subset A\)を積閉集合とする。まず、\(A\times S\)に以下のように同値関係を入れる。\begin{align}&(a,b)\sim(c,d) \\ \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} &あるs\in Sが存在しs(ad-bc)=0\;\dots(*) \end{align}この同値関係による\(A\times S\)の商集合を\(A_S\)、\( (a,b)\)が代表する\(A_S\)の元を\(\displaystyle \frac{a}{b}\)と書くことにする。
\(A_S\)は以下のように定められる和と積により、可換環となる。\begin{align}\frac{a}{b}+\frac{c}{d}&:=\frac{ad+bc}{bd}&\dots(**)\\ \\ \frac{a}{b}\times \frac{c}{d}&:=\frac{ac}{bd}\;&\dots(***)\end{align}この\(A_S\)を\(SによるAの局所化\)と呼ぶ。
なにやらややこしい定義ですね。
気持ち
諸々の証明に入る前に、なぜこのような定義をするのか？という気持ちの面についてお話しします。
それは大雑把に言ってしまえば、“もっと割り算がしたいから！”です。環というものは、和、差、積については十分に良い性質が仮定されています。ならば残るは割り算ですよね？割り算というのは要するに分数のことですから、分数っぽいものを考えてみたい！となるわけです。
ではそのためにはどのように考えればよいか？まずは”分数っぽいもの”が満たすべき分数の性質を洗い出してみることです。普通の有理数について考えてみると、概ね以下のようなものが”分数らしさ”だと考えられます。
\(\diamondsuit\)
\begin{align}\frac{1}{2}+\frac{3}{5}&=\frac{5+6}{10}\;&(和、通分)\\\\ \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}&=\frac{3}{10}\;&(積)\\\\ \frac{2}{4}&=\frac{1}{2} \;&(約分)\end{align}
逆に言えばこのような計算ができる集合を考えられたら、それはもはや”分数っぽい”集合になっているわけです。これが、定義(**)(***)の出どころです。さらに約分というのは
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad-bc=0$$
とも言い換えられるので定義(*)のような同一視を入れる必要があるのです。なぜ\(ad-bc=0\)ではなく、” \(s(ad-bc)=0\;(\exists s\in S) \)”と弱めているかというと、そのままでは同値関係にならないからです。これについては下の証明で言及しています。
さらに分母に現れる数についても地味に注意が必要です。上記の計算\(\diamondsuit\)に注目してみると、分母の数は積についてさえ閉じていればよいことがわかります。仮定は最小限の方がよいので、分母全体の集合として積閉集合を考えるのです。
以上が局所化の”気持ち”です。分数っぽいものを考えるための必要最低限の準備をした感じです。
証明
では証明に入りましょう。示すべきことは以下の通り、たくさんあります。
- 定義(*)が同値関係になっていること。
- 演算の定義(**), (***)がwell-definedなこと。
- \(A_S\)が可換環となっていること。
ひとつずつ見ていきましょう
定義(*)が同値関係になっていること
(証明) 同値関係の3条件をチェックする。\( (a,b),(c,d),(e,f)\in A\times S\)とする。
(反射律) \(ab-ba=0\)なのでOK。
(対象律) \begin{align}(a,b)\sim (c,d)&\Leftrightarrow s(ad-bc)=0\;(\exists s\in S)\\&\Rightarrow s(cb-da)=0\\&\Rightarrow (c,d) \sim (a,b)\end{align}よりOK。
(推移律) \((a,b)\sim (c,d),(c,d)\sim (e,f)\)とする。このとき$$s(ad-bc)=0,t(cf-de)=0\;(\exists s,t\in S)$$となるので、\begin{align}std(af-be)&=(sad)tf-(tde)sb\\&=(sbc)tf-(tcf)sb\\&=0\end{align}となる。いま\(s,t,d\in S\)より\(std\in S\)なので\((a,b)\sim(e,f)\)となりOK。
(※)最後の推移律の所で、\(ad-bc=cf-de=0\)からは\(af-be=0\)が従わないので、”ある\(s\in S\)が存在し…”の部分が必要なことが分かります。
演算の定義(**), (***)がwell-definedなこと
(証明) 和の方だけ示す。積についても同様にすればよい。
\( \displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a’}{b’},\frac{c}{d}=\frac{c’}{d’}\)とする。このとき$$\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a’d’+b’c’}{b’d’}$$を示せばよい。定義からある\(s,t\in S\)が存在し$$s(ab’-ba’)=t(cd’-dc’)=0$$が成立する。このとき、\begin{align}&st(bd(a’d’+b’c’)-b’d'(ad+bc))\\=&(sba’)tdd’+(tdc’)sbb’-stb’d'(ad+bc)\\=&(sab’)tdd’+(tcd’)sbb’-stb’d'(ad+bc)\\=&stb’d'(ad+bc)-stb’d'(ad+bc)\\=&0\end{align}となるので$$\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a’d’+b’c’}{b’d’}$$が従う。
\(A_S\)が可換環となっていること。
(証明) 定義から和や積が可換なのは明らか。\(\frac{0}{1}\)が加法単位元、\(\frac{1}{1}\)が乗法単位元になることも、\[ \frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a+0}{b}=\frac{a}{b}\\[10pt] \frac{a}{b}\times \frac{1}{1}=\frac{a}{b}\]よりOK。分配法則も定義よりほぼ明らか。
(証明終わり)
まとめ
本記事では環の局所化と、その気持ちについて解説しました。大体の感覚をつかんでもらえたら幸いです。局所化の重要な例については以下の記事で紹介しているので、ぜひご覧ください。
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